photo13

Analyse 2

Cet enseignement s'adresse aux étudiants de la première année de la licence d'économie et gestion. On y poursuit l'étude des fonctions entreprise dans le cours d'Analyse 1 du premier semestre, mais cette fois-ci les fonctions sont de plusieurs variables.

Vous trouverez ici du matériel pour le cours: le livret d'exercices, quelques notes de cours rédigées par Thierry Dumont sur les fonctions de plusieurs variables ainsi que quelques représentations graphiques de fonctions de deux variables.

Un livre qui peut vous être utile : Catto, Gentil & Pons. Elements de calcul différentiel pour l'économie - Mathématiques - Licence Sciences Eco - Editions Ellipses 2011.


Voici les textes des épreuves de CC1 PDF  et de CC2  PDF  .
La correction de l'épreuve de CC2 de 2016 :  PDF  .
Voici les textes de l'examen de 2015 : sujet 1 PDF , sujet 2  PDF  .
Le but de ce cours semestriel est de vous proposer de faire vos premiers pas en optimisation des fonctions de plusieurs variables. Optimiser, c'est minimiser ou maximiser mais c'est aussi, chemin faisant, la possibilité de rencontrer des points-cols. En économie, il est important de maximiser des gains et des fonctions d'utilité, de minimiser des coûts et des risques. Quant aux points-cols, qui n'ont pas d'équivalents dans le monde des fonctions d'une seule variable que vous avez étudiées jusqu'à présent, ils jouent un rôle essentiel dans la notion d'équilibre de Cournot-Nash. 

Nous prenons le parti de n'étudier que les fonctions de deux variables, les fonctions de trois variables ou plus n'offrant pas de difficultés significativement plus importantes. Ce parti pris permet de garder des notations relativement légères et de s'appuyer autant que faire se peut sur des représentations graphiques.

Les dernières semaines du semestre seront consacrées à l'intégration des fonctions d'une variable. Il s'agit en grande partie de rappels de ce que vous avez déjà rencontré au lycée, mais il nous semble nécessaire de consolider vos connaissances en ce domaine, qui vous permettront de faire des probabilités, des statistiques mathématiques et parfois de calculer les trajectoires de systèmes dynamiques en économie.

Progression du cours
Semaine 1. Géométrie. Points et vecteurs de R2, produit scalaire et orthogonalité, domaines de R2, représentations graphiques.
Semaine 2. Fonctions de deux variables réelles. Fonctions et dérivées partielles, vecteur gradient, courbes et ensembles de niveau.
Semaine 3. Formule de Taylor à l'ordre 2.
Semaine 4. Optimisation de fonctions d'une variable. Convexité.
Semaine 5. Optimisation sous contrainte,  par substitution en dimension 2. Gradient orthogonal aux lignes de niveau.
Semaine 6. Optimisation libre par Taylor en dimension 2. Conditions du premier ordre et du second ordre. Définition des fonctions convexes.
Semaine 7. Contrôle continu numéro1 en TD.  Optimisation sous contrainte linéaire ou non-linéaire définie par une unique égalité à l'aide du lagrangien dans le cas convexe. Conditions du premier ordre pour le Lagrangien. Condition suffisante du second ordre sans l'espace tangent, cf. la proposition 6.5 du poly sur cours en ligne.
Semaine 8.  Condition suffisante du second ordre avec l'espace tangent. Interprétation des multiplicateurs de Lagrange.
Semaine 9. Intégration. Intégrale d'une fonction continue, lien avec la dérivée. Existence d'une primitive des fonctions continues par approximation de l'aire (admis). Primitives usuelles.
Semaine 10. Propriétés de l'intégrale (relation de Chasles, linéarité, positivité, formules de la moyenne). Intégration par parties, utilisation pour un calcul de primitive.
Semaine 11. Révisions.
Semaine 12. Contrôle continu numéro 2 en TD. Révisions.


La description de l'équipe pédagogique d'Analyse 2 se trouve ici .

Retour en haut de cette page